Matematika

1. Persamaan Linear

Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk persamaan linear satu variabel yaitu y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis dengan sumbu-y.

Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.

Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut :

Titik potong dengan sumbu x maka 

Titik potong dengan sumbu y maka  

Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk umum :

 dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk yang lainnya sampai variabel ke-n.

Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :

1. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah termasuk persamaan linear atau bukan.

a.       x +  y = 5 (persamaan linear dua variabel)

b.      x² + 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)

c.       p² + q² = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)

d.      2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)

2.  Carilah penyelesaian sistem persamaan  x + 2y = 8 dan  2x – y = 6
Jawab  ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8  | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6   | x 1 | –> 2x -    y = 6              -   ………*
5y  = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2  ke dalam suatu persamaan
x  + 2 y = 8
x  + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8  | x 1 | –> x + 2y =   8
2x – y = 6   | x 2 | –> 4x – 2y = 12              +     ……*
5x  = 20
x  = 4
masukkan nilai x = 4  ke dalam suatu persamaan
x  + 2 y = 8
4  + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4  = 2
HP =  {4, 2}

3. Selesaikan soal no 2 menggunakan cara substitusi

Jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu   x + 2y = 8
Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi  x = 8 – 2y,
Persamaan yang diubah  tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6  menjadi :             2 (8 – 2y) – y = 6  ; (x persamaan kedua menjadi  x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y =  2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4  = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi  penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan  y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

4. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan  4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli  4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model       matematika.
Misal:  harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya  4 x + 5 y =  ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000     | x 5 |  = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500   | x 2 |  = 10x +   8 y = 23.000    -    ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y  = 7000
y  = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x   = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah  4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

2. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax+by>c

ax+by<c

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :

1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan

2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.

3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.

4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh berikut :

contoh 1.

contoh 2.

contoh 3.

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggotabilangan real.

–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

Penyelesaian :

Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang koordinat

Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)

Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang mengandung titik (0,12).

Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh grafik sebagai berikut.

Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang terkena seluruh arsiran, yaitu :

Semoga artikel ini dapat bermanfaat, selain materi persamaan dan pertidaksamaan linear ini sebelumnya telah saya berikan materi pertidaksamaan kuadrat.

2.Pertidaksaan Linear

Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk pertidaksamaan linear satu variabel, pertidaksamaan linear dua variabel memiliki dua variabel (peubah). Adapun pertidaksamaan linear satu variabel hanya memiliki satu peubah. Begitu pula dengan persamaan linear dua variabel sama dengan pertidaksamaan linear dua variabel, hanya saja berbeda dalam tanda ketidaksamaannya. Pada persamaan linear dua variabel, digunakan tanda hubung “ = ” sedangkan pertidaksamaan linear dua variabel digunakan tanda hubung “ >, <, ≥, atau ≤ “.

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah >, <, ≥, atau ≤.

Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk umum persamaan linear dua variabel. Seperti yang sudah disinggung sebelumnya, perbedaannya terletak pada tanda ketidaksamaan. Pada persamaan digunakan tanda “ = ”, sedangkan pada pertidaksamaan digunakan tanda “ >, <, ≥, atau ≤ “. Berikut bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel. 

• ax + by > c
• ax + by < c
• ax + by ≥ c
• ax + by ≤ c

Dengan :
a = koefisien dari x, a ≠ 0
b = koefisien dari y, b ≠ 0
c = konstanta
a, b, dan c anggota bilangan real.

Anda telah mengenal dan mengetahui definisi serta bentuk umum dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel. Sekarang, Anda tentu dapat membedakan yang manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel.

1. 2x < 15
2. x2 + 2y ≤ 5
3. 2x + 3y ≥ 6
4. –x ≥ y + 1
5. xy + x > 3

Manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel? Dari ke lima nomor pertidaksamaan tersebut, yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan nomor 2 dan 5. Pertidaksamaan nomor 1, merupakan pertidaksamaan linear satu variabel. Pertidaksamaan nomor 3 bukanlah pertidaksamaan linear dua variabel karena pada pertidaksamaan tersebut memuat perkalian variabel. Pertidaksamaan nomor 4 juga bukan pertidaksamaan linear dua variabel karena ada variabel yang derajatnya lebih dari satu.

Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel berupa pasangan terurut (a, b) yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel. Semua penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel disatukan dalam suatu himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel biasanya disajikan dalam bentuk grafik pada bidang koordinat cartesius.

Langkah-langkah yang harus diambil untuk menggambar kan grafik penyelesaian dari per tidaksama an linear dua variabel, hampir sama dengan langkah-langkah dalam menggambarkan grafik persamaan linear dua variabel.

Berikut ini langkah-langkah mencari daerah penyelesaian dari.lebairav aud raenil na amaskadit rep
a. Ganti tanda ketidaksamaan >, <, ≥, atau ≤ dengan tanda “ = “.
b. Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan linear dua variabel dengan kedua sumbu.

• Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0 diapit titik (x,0)
• Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0 diapit titik (0,y)

c. Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik(x,0) dengan titik (0,y). Jika pertidaksamaan memuat > atau <,su tup-sutup sirag nagned tubesret kifarg halnak rabmag .
d. Gunakanlah sebuah titik uji untuk menguji daerah penyelesaian pertidaksamaan.
e.Berikanlah arsiran pada daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian pertidaksamaan

Contoh Soal :

1.

 

 2